Vill bretting

The greatest shortcoming of the human race is our inability to understand the exponential function.

- Dr. Albert Bartlett

"Kombinatorisk eksplosjon" er kanskje den beste beskrivelsen av hva du får når du har en eksponensiell vekst. En eksponensiell vekst har vi når noe øker med en viss andel fra omgang til omgang. Rentesrente er det klassiske skoleeksempelet.

Mitt favoritteksempel er dette:

Brett et papirark 100 ganger.

Det lar seg jo ikke gjøre i praksis. Men vi kan se det for oss, og vi vet hva effekten av å brette en gang er, og vi vet også hva effekten av å brette en gang til er: Effekten er å doble antallet lag.

Etter en bretting har vi to lag; etter to brettinger, fire lag; etter tre brettinger, åtte lag...

Antallet lag blir altså (1)*2*2*2..., hvor vi ganger med to like mange ganger som det er brettinger.

Dette kan skrives L(b) = 2^b, og leses ca. sånn: Antallet lag L for antallet brettinger b er 2 i b'te (altså 2 ganget med seg selv b ganger). 2 kalles "grunntallet" og b er en "eksponent".

L(100) = 2¹⁰⁰ betyr altså at antallet lag etter 100 brettinger er 2*2* etc, totalt hundre totall og niognitti gangetegn.

Nå har det seg sånn at ved et av universets snodige sammentreff så er 2¹⁰ = 1024 (en "k" i dataverdenen), som vi med litt godvilje kan kalle det samme som 10³ (10*10*10 = 1000).

Et annet morsomt sammentreff er at vi kan gange sammen to eksponensialuttrykk med samme grunntall rett og slett ved og legge sammen eksponentene. Dette er rett fram å se dersom grunntallet er 10, fordi eksponenten da er det samme som antallet nuller etter et innledende ettall. For eksempel er 10³ * 10³=10⁶ (1000 * 1000 = 1 000 000).

Tilsvarende lar eksponensialuttrykk seg faktorisere -
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ (dvs 2¹⁰ ganget med seg selv 10 ganger).

Og siden 2¹⁰ = 10³, så får vi

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = (10³)¹⁰ = 10³⁰

Etter hundre brettinger har vi altså i størrelsesorden (vi har rundet litt ned)
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 lag. Ti i træddefte blant venner. Det er seriøst mange lag. Det er så mange lag at menneskesinnet, som antydet i det innledende sitatet, ikke klarer å forholde seg til det.

Vi må sammenligne med noe. Hvor tykk blir papirbunken vår?

La oss anta at arket er 1/10 mm tykt - en fornuftig antagelse. Tynt papir, men ikke av den aller tynneste typen.

0,1 mm = 0,0001 m. Det kan vi skrive 10^-4m, og ved regneregelen over, rett og slett trekke fra eksponenten, så har vi tykkelsen i meter:

10³⁰*10^-4 = 10^30-4 = 10²⁶ dvs. meter tykk.

Ganske tykk altså, men fremdeles er det så mange nuller at tallet er uforståelig.

Det er klart at vi er på en astronomisk skala her, så vi noterer oss at et lysår er sånn ca 10¹⁶ m.

Hmmm 26 - 16 = 10 dvs bunken vår er 10¹⁰, altså ti milliarder, lysår tykk.

Hvor langt er det?

Andromeda-galaksen, den nærmeste galaksen av skikkelig størrelse, er anslagsvis 2,5 millioner lysår borte.

Regnestykket vårt er bare et overslag, og vi har underestimert antallet lag, så vi dropper med god samvittighet de 2,5 og sier at det er ca. en million - 10⁶ - lysår dit.

10 - 6 = 4 dvs bunken vår er 10⁴, altså ti tusen, ganger så tykk som avstanden til Andromeda-galaksen.

Ord blir fattige... det er så hinsides "langt" at all intuisjon faller bort. "Langt" er det å gå Norge på langs, eller å fly til Australia. Det er "lengre" til månen.
Ingen protesterer dersom du sier at der er "veldig langt" til Sola.

Sola er 8 lysminutter unna.

Vi skal ikke bare til Sola, men ut av solsystemet. Det er fryktelig langt. Solsystemet er bare en ørliten flekk i vår galakse, Melkeveien... men vi skal ut av Melkeveien. I forhold til avstanden mellom galaksene er Melkeveien bare en ørliten flekk... og når vi så kommer til Andromeda... så er bare en titusendel av distansen tilbakelagt.

Som sagt, det lar seg ikke gjøre i praksis.